Combinatoria

Combinatoria

La combinatoria cuenta cuántos grupos distintos se pueden formar cuando el orden no importa. Elegir manzana y pera es el mismo grupo que elegir pera y manzana. Esa cuenta se escribe C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!), siempre que k no sea mayor que n.

Si el orden sí importa, la cuenta es otra: es una permutación. Ana primero y Beto después no es el mismo arreglo que Beto primero y Ana después.

El orden no importa

Tres frutas, dos elegidas

Hay una manzana, una naranja y una pera. Los grupos de dos frutas son tres: manzana con pera, manzana con naranja, y pera con naranja. No son seis, porque dar vuelta el par no crea un grupo nuevo.

En el dibujo el título dice El orden no importa. Hay tres recuadros con borde morado. En el primero se ve una manzana roja con tallo y una pera verde con hoja, y abajo se lee Manzana y pera. En el segundo se ve una manzana roja y una naranja, y se lee Manzana y naranja. En el tercero se ve una pera verde y una naranja, y se lee Pera y naranja. Abajo se lee: 3 grupos. Manzana y pera es el mismo grupo que pera y manzana.

La fórmula

C(n, k)

n es el total de elementos distintos. k es cuántos se eligen. n! es el factorial de n: el producto de los enteros desde 1 hasta n. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. 2! = 2 y 3! = 6.

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). Si k es mayor que n, el resultado es 0: no se pueden elegir más elementos de los que hay. También se puede calcular así: se multiplican k factores que parten en n y bajan de uno en uno, y se divide por k × (k − 1) × ... × 1.

En el dibujo el título dice C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). Hay tres recuadros. El azul dice n, el total. El morado dice k, los elegidos. El verde dice n − k, los que quedan. Abajo se lee: Si k es mayor que n, el resultado es 0. En azul se lee: Ejemplo: C(5, 2) = 120 / (2 × 6) = 10.

Un ejemplo

Cinco estudiantes, dos encargados

En un curso hay 5 estudiantes: Ana, Beto, Camila, Diego y Eva. Hay que elegir 2 para llevar la bandera en un acto. El orden no importa. Ana y Beto es el mismo par que Beto y Ana.

C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10. Por el otro camino: (5 × 4) / (2 × 1) = 20 / 2 = 10. Las dos cuentas dan 10.

En el dibujo el título dice 10 pares. Hay diez recuadros naranjas. Se leen Ana y Beto, Ana y Camila, Ana y Diego, Ana y Eva, Beto y Camila, Beto y Diego, Beto y Eva, Camila y Diego, Camila y Eva, y Diego y Eva. Son los 10 pares. No falta ninguno y no hay uno repetido al revés.

Si el orden importara

Quién habla primero

Si Ana habla primero y Beto después, eso no es el mismo arreglo que Beto primero y Ana después. Ahí el orden importa, así que no es combinatoria. Con 5 estudiantes y 2 turnos, hay 5 × 4 = 20 arreglos. Esa cuenta, y el factorial, están en cómo se calculan las permutaciones.

En II medio

Usar la combinatoria sencilla para calcular y resolver problemas está en el objetivo de permutaciones y combinatoria de Matemática.