Permutaciones

Qué son las permutaciones y cómo calcularlas paso a paso

1) Definición básica

¿Qué es una permutación?

Una permutación es un arreglo de todos los elementos de un conjunto donde SÍ importa el orden. En combinatoria se estudian las permutaciones para contar cuántas maneras distintas se pueden ordenar objetos distintos. Cuando decimos P(n)=n! significa que si tenemos n elementos distintos, todas las formas posibles de ordenarlos son n factorial, el cuál revisaremos más adelante de qué se trata.

Palabras claves: Permutaciones, combinatoria, factorial, repetición, orden, arreglo, importa. Aquí “importa” significa que cambiar la posición de dos elementos produce una permutación distinta.

Ejemplos conceptuales resueltos

Ejemplo 1: Tienes 3 libros distintos A, B y C. ¿Cuántas permutaciones hay si los quieres ordenar en una repisa?

Solución: P(3)=3!=3·2·1=6. Las permutaciones son ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Ejemplo 2: Tres estudiantes X, Y, Z se paran en fila para una foto. ¿Cuántas filas diferentes son posibles?

Solución: P(3)=3!=6. Es el mismo caso de ordenar 3 elementos distintos.

2) Fórmula y factorial: P(n)=n! paso a paso

Definición de factorial y por qué aparece en las permutaciones.

El factorial n! es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n, es decir: n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1. En permutaciones, para elegir la primera posición hay n opciones, para la segunda quedan n-1, y así sucesivamente hasta 1, por eso se multiplica y se obtiene n!.

Ejemplos calculando factorial

Ejemplo 1: Calcula 5!.

Solución: 5!=5·4·3·2·1=120.

Esto significa que 5 elementos distintos se pueden ordenar en 120 formas distintas.

Ejemplo 2: Calcula 7!.

Solución: 7!=7·6·5·4·3·2·1=5040.

Por tanto, 7 elementos distintos generan 5040 permutaciones.

3) Diferencias entre permutaciones y combinaciones

Por qué el orden importa en permutaciones y no en combinaciones.

En permutaciones el orden importa: AB y BA son diferentes. En combinaciones el orden no importa: {A,B} y {B,A} son la misma combinación. Si se pide contar arreglos donde el orden importa usamos permutaciones; si no importa usamos combinaciones.

Ejemplos para distinguirlos

Ejemplo 1: Seleccionar 2 alumnos de A, B, C para formar una pareja donde importa quién es el primero y quién el segundo. Permutaciones: P(3,2)=3·2=6 arreglos: AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Ejemplo 2: Seleccionar 2 alumnos de A, B, C para un jurado donde no importa el orden porque harán la misma función dentro del jurado. Combinaciones: C(3,2)=3 parejas: {A,B}, {A,C}, {B,C}.

4) Permutaciones sin repetición (caso P(n)=n!)

Si todos los elementos son distintos y los usamos todos, la cantidad de permutaciones es P(n)=n!. Si usamos solo r posiciones de n elementos distintos, la fórmula es P(n,r)=n·(n-1)·...·(n-r+1)=n!/(n-r)!.

Ejemplo 1: ¿Cuántas formas distintas hay de ordenar 4 pinturas distintas en una pared si se usan las 4? Solución: P(4)=4!=24.

Ejemplo 2: ¿Cuántas claves de 3 dígitos diferentes se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5 sin repetir? Solución: P(5,3)=5·4·3=60.

5) Permutaciones con repetición

Si hay repetición entre los elementos, el número de permutaciones de n elementos con repeticiones que llamaremos n1, n2, ... nk, es n!/(n1! n2! ... nk!). Esto elimina conteos duplicados causados por elementos iguales.

Ejemplo 1: ¿Cuántas permutaciones tiene la palabra "ABA"? Aquí n=3, pero "A" está repetida 2 veces, por lo que debemos dividir en 2!. Solución: 3!/2!=6/2=3. Las permutaciones distintas son ABA, AAB, BAA.

Ejemplo 2: la palabra "MAMÁ" (sin distinguir acentos, letras M A A M → n=4, M repetida 2, A repetida 2) Solución: 4!/(2!2!)=24/(2·2)=6 permutaciones distintas.

6) Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio resuelto 1: permutación simple

Problema: Ordenar 6 libros distintos en un estante. ¿Cuántas formas? Solución paso a paso: n=6 entonces P(6)=6!=6·5·4·3·2·1=720. Resultado: 720 formas.

Ejercicio resuelto 2: permutación parcial sin repetición

Problema: Formar códigos de 4 letras distintas usando las letras A,B,C,D,E (no se repiten). Solución: n=5, r=4. P(5,4)=5·4·3·2=120. Alternativamente 5!/(5-4)!=120.

Ejercicio resuelto 3: permutación con repetición

Problema: ¿Cuántas permutaciones distintas hay en la palabra "CASA"? Letras: C,A,S,A → n=4, A repite 2 veces. Solución: 4!/(2!)=24/2=12. Resultado: 12 arreglos distintos.

Ejercicio resuelto 4: contar arreglos con repetición múltiple

Problema: Tener las letras A,A,B,B,C. ¿Cuántas permutaciones distintas? n=5, repeticiones: A=2, B=2, C=1. Solución: 5!/(2!2!)=120/(2·2)=30. Resultado: 30 arreglos distintos.

7) Preguntas de comprensión lectora

Preguntas para verificar que entendiste los conceptos.

  1. ¿Qué significa P(n)=n! en tus propias palabras?
  2. ¿Por qué en permutaciones con repetición se divide por factoriales de las repeticiones?
  3. Da un ejemplo real donde el orden importa y otro donde no importa.
  4. Calcula 6! y explica cada paso del producto.
  5. Si tienes las letras A,A,B, ¿cuántas permutaciones hay y por qué?

Posibles respuestas:

1) Que es la cantidad de arreglos distintos de n elementos.

2) Porque elementos iguales generan arreglos indistinguibles que se cuentan varias veces en n!.

3) Orden importa: filas para una foto. Orden no importa: seleccionar un equipo.

4) 6!=6·5·4·3·2·1=720 y explicar multiplicación.

5) 3!/(2!)=3 permutaciones.

8) Actividad final con pasos claros

Materiales: papel, lápiz, una lista de 5 objetos o letras. Objetivo: aplicar permutaciones con y sin repetición.

  1. Escribe 5 objetos distintos (por ejemplo: pelota, libro, lápiz, cuaderno, estuche).
  2. Calcula cuántas permutaciones hay si ordenas los 5 objetos en una línea.
  3. Ahora elige 3 de esos 5 objetos para formar una fila de 3. Calcula P(5,3)=5·4·3 y escribe las 3 primeras permutaciones que se te ocurran.
  4. Repite la actividad con 5 letras donde dos se repiten (por ejemplo A,A,B,C,D). Calcula el número total usando la fórmula con repetición n!/(n1! n2! ...). Escribe al menos 6 permutaciones distintas y verifica que no repites ninguna.
  5. Compara resultados y escribe una breve reflexión de 3 frases explicando por qué el orden cambia el conteo.

Fecha de publicación: 12-01-2026 15:06

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