Función potencia

Función potencia

Una función potencia de exponente entero deja el exponente fijo y pone la variable en la base. f(x) = x² y f(x) = x³ son funciones potencia. No son una función exponencial: ahí la variable va en el exponente.

En IV medio se usan para modelar crecimiento y decrecimiento. El exponente es un número entero. La base es la que cambia cuando cambia x.

La variable va en la base

En f(x) = x², el 2 no se mueve. Lo que cambia es x. Si x vale 3, se calcula 3², que es 3 · 3 = 9. Si x vale 4, se calcula 4² = 16.

Una potencia es la base multiplicada por sí misma tantas veces como dice el exponente. Eso está en potencias y raíces cuadrada.

La función exponencial es otra. Ahí se escribe f(x) = aˣ, con la base fija y la variable en el exponente. Se ve en función exponencial.

Exponente par

En f(x) = x² el exponente 2 es par. La tabla con enteros de -2 a 2 queda así: f(-2) = 4, f(-1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1 y f(2) = 4. El valor no baja de 0. x y -x dan el mismo resultado, así que la gráfica es simétrica respecto del eje y.

El punto más bajo es (0, 0). Esa gráfica también es una parábola. Como función cuadrática se sigue en función cuadrática.

En el dibujo el título dice f(x) = x². Se ve una curva violeta, con el mínimo en el origen y los dos brazos hacia arriba. Los puntos naranjos dicen (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 4). Al pie se lee: En x = -2 y en x = 2, y vale 4.

Exponente impar

En f(x) = x³ el exponente 3 es impar. La tabla queda así: f(-2) = -8, f(-1) = -1, f(0) = 0, f(1) = 1 y f(2) = 8. Si x es negativo, el resultado es negativo. Si x es positivo, el resultado es positivo. La gráfica pasa por el origen y sigue de abajo a la izquierda hacia arriba a la derecha.

No es simétrica respecto del eje y. f(-2) no es igual a f(2): uno vale -8 y el otro vale 8.

En el dibujo el título dice f(x) = x³. Se ve una curva verde que cruza el origen. Baja a la izquierda y sube a la derecha. Los puntos naranjos dicen (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1) y (2, 8). Al pie se lee: En x = -2, y vale -8. En x = 2, y vale 8.

Exponente negativo

Si el exponente es un entero negativo, la función se puede escribir como un cociente. f(x) = x⁻² es 1/x². f(x) = x⁻¹ es 1/x. En los dos casos x no puede valer 0: el denominador quedaría en cero.

El dominio no es todo el conjunto de los números reales. Se saca el 0. Con exponente par negativo, x y -x vuelven a dar el mismo resultado, porque el cuadrado de -2 es el mismo cuadrado de 2: 1/(-2)² = 1/4 y 1/2² = 1/4.

Un ejemplo

x² no es 2ˣ

Hay que mirar dónde está la variable. En x² la variable es la base y el exponente queda en 2. En 2ˣ la base queda en 2 y la variable es el exponente.

Con x = 3, x² = 3² = 9. En cambio 2ˣ = 2³ = 8. 9 y 8 no son el mismo número. Por eso f(x) = x² no es la función exponencial f(x) = 2ˣ.

En el dibujo el título dice No es la misma función. A la izquierda, un recuadro violeta dice x² y 3² = 9. A la derecha, un recuadro naranja dice 2ˣ y 2³ = 8. Al pie se lee: 9 y 8 no son el mismo resultado.

Con x = -2 la diferencia también se ve. (-2)² = 4, porque negativo por negativo da positivo. (-2)³ = -8, porque el exponente impar conserva el signo.

En IV medio

Modelar crecimiento y decrecimiento con funciones potencia de exponente entero está en la unidad de funciones potencia de Matemática de 4° medio.

El seno y el coseno, que van en la misma unidad, no son funciones potencia. La variable no está elevada a un entero fijo.