Números imaginarios

Un número imaginario es un número real multiplicado por i. La unidad i cumple que i al cuadrado es −1. Con i se resuelve una ecuación cuyo cuadrado es negativo.

Por qué hace falta i

Si se eleva al cuadrado un número real, el resultado es positivo o cero. 3 al cuadrado es 9. (−3) al cuadrado también es 9. Ningún número real, elevado al cuadrado, da −9.

La unidad imaginaria se define así: i² = −1. Por eso i es la raíz cuadrada de −1. Un imaginario puro se escribe y·i, con y real. 3i, −2i y 5i son imaginarios.

El plano complejo

Los números reales se ubican en una recta horizontal. Los imaginarios se ubican en una recta vertical. Las dos rectas se cruzan en 0 y forman el plano complejo. El punto 3i queda sobre la recta vertical, arriba del 0. No queda sobre la recta real.

En el dibujo el título dice Plano complejo. La línea negra va de lado a lado y dice Eje real. Tiene las marcas −1, 0 y 1. La línea violeta va de arriba abajo y dice Eje imaginario. Sobre esa línea violeta, arriba del 0, hay un punto naranja que dice 3i. Al pie se lee: El punto naranja es 3i.

Potencias de i

Las potencias de i se repiten cada cuatro. i¹ es i. i² es −1. i³ es −i, porque i² · i = (−1) · i. i⁴ es 1, porque i² · i² = (−1) · (−1). Después, i⁵ vuelve a ser i, porque i⁴ · i = 1 · i.

En el dibujo el título dice Potencias de i. Hay cuatro recuadros. El violeta dice i¹ = i. El naranja dice i² = −1. El azul dice i³ = −i. El verde dice i⁴ = 1. Al pie se lee: De i a i⁴, y después se repite.

Un ejemplo

Resolver x² = −9

En los reales, x² = −9 no tiene solución. Con i, una solución es x = 3i.

La cuenta es (3i)² = 3² · i² = 9 · (−1) = −9. La otra solución es x = −3i, porque (−3i)² también es 9 · (−1) = −9.

En III medio

Representar números complejos y calcular potencias de i está en la unidad de números complejos de Matemática de 3° medio.