Álgebra y funciones

Función cuadrática

Una función cuadrática es un polinomio de segundo grado de la forma f(x)=ax²+bx+c, donde a≠0; su gráfica es una parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo.

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una relación matemática donde la variable independiente se eleva al cuadrado. Se escribe como f(x)=ax²+bx+c, con a, b y c reales y a≠0. El término ax² define la curvatura, bx la inclinación y c la altura inicial en y. En II Medio se estudia su comportamiento, formas de resolver raíces por factorización, fórmula general y completar el cuadrado. La curva resultante se llama parábola y tiene propiedades geométricas útiles para modelar fenómenos físicos y económicos, por ejemplo, el lanzamiento de una pelota en educación física o ajustes de datos en proyectos científicos escolares.

¿Cómo se representa algebraicamente una función cuadrática?

Formas algebraicas

Hay tres formas comunes: la forma general f(x)=ax²+bx+c, la forma factorizada f(x)=a(x−x1)(x−x2) cuando se conocen las raíces x1 y x2, y la forma canónica o vértice f(x)=a(x−h)²+k donde (h,k) es el vértice. Para pasar de una forma a otra se usan operaciones algebraicas: factorizar para obtener raíces, completar el cuadrado para hallar el vértice o aplicar la fórmula general x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a) para las raíces reales. En problemas prácticos es clave identificar qué forma facilita la solución; por ejemplo, la forma factorizada permite leer intersecciones con el eje x de inmediato.

¿Cuál es la forma de la parábola y cómo se transforman sus elementos?

Vértice, eje y orientación

La parábola tiene un vértice que es el punto máximo o mínimo, dependiendo del signo de a. El eje de simetría es la recta x=−b/(2a). Si a>0 la parábola abre hacia arriba y el vértice es mínimo; si a<0 abre hacia abajo y el vértice es máximo. Las transformaciones básicas: cambiar a comprime o estira verticalmente; sumar c traslada la curva en y; y cambiar b mueve el vértice en x. Para graficar se calculan vértice, intersecciones con ejes y algunos puntos adicionales. En ejercicios escolares se recomienda trazar una tabla de valores y ubicar el vértice para dibujar la parábola con precisión.

¿Por qué son útiles las funciones cuadráticas?

Las funciones cuadráticas modelan situaciones con aceleración constante, optimización y trayectorias. En física describen la posición de un objeto en caída libre o el tiro parabólico sin resistencia. En economía se usan para funciones de costo y beneficio que tienen máximos o mínimos. En geometría aparecen en áreas y en problemas de diseño. Para estudiantes de II Medio, resolver problemas con cuadráticas desarrolla habilidades de manipulación algebraica, interpretación gráfica y razonamiento lógico que son fundamentales para cursos posteriores como física y cálculo.

¿Dónde se aplican las funciones cuadráticas en Chile y en el currículo escolar?

En Chile, el currículo de II Medio incluye polinomios y funciones; las cuadráticas sirven en actividades prácticas: medir la trayectoria de una pelota en educación física, estimar la forma de cupulas en arquitectura local o analizar curvas de rendimiento en proyectos de ciencias. En contextos regionales como observatorios o ingeniería básica, conceptos de parábola aparecen en óptica y estructuras. Para la PSU o pruebas de admisión, es habitual que se pidan vértices, raíces y máximos o mínimos de cuadráticas; por eso los estudiantes deben dominar tanto la representación algebraica como la interpretación gráfica y aplicaciones reales.

¿Cómo se resuelven ejemplos prácticos con números reales?

Ejemplo 1: Hallar vértice y raíces de f(x)=2x²−8x+6. Primero aplicar fórmula general: discriminante Δ=b²−4ac=(−8)²−4·2·6=64−48=16, raíces x=[8±4]/4 → x1=3, x2=1. Vértice: x_v=−b/(2a)=8/4=2; f(2)=2·4−16+6=8−16+6=−2, vértice (2,−2). Resultado resuelto muestra vértice y raíces y que la parábola abre hacia arriba porque a=2>0. Ejemplo 2: Modelar altura h(t)=−5t²+20t+1 (metros, segundos). Máximo en t=−b/(2a)=−20/(−10)=2 s; altura máxima h(2)=−20+40+1=21 m. Raíces: encuentra tiempos cuando h=0 usando fórmula general; aquí Δ=400−4·(−5)·1=400+20=420; los tiempos reales se calculan para interpretar cuándo toca el suelo. Estos ejemplos muestran cálculo paso a paso y significado físico.

¿Cuáles son ejercicios y actividad para practicar?

1) Da la forma canónica de f(x)=x²−6x+5 y escribe vértice y eje de simetría. 2) Resuelve la ecuación 3x²−12x+9=0 por fórmula general y verifica factorizando. 3) Diseña un experimento sencillo: lanza una pelota, registra alturas y ajusta una cuadrática para estimar la altura máxima y el tiempo en que ocurre. Anota tus resultados y compara teoría con mediciones.

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Preguntas frecuentes

¿Qué es una función cuadrática?

Es un polinomio de segundo grado de la forma f(x)=ax²+bx+c con a≠0 cuya gráfica es una parábola.

¿Cómo se representa algebraicamente una función cuadrática?

Se representa en forma general, factorizada o canónica; la fórmula general permite hallar raíces: x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a).

¿Cuál es la forma de la parábola y cómo se transforma?

La parábola tiene vértice (h,k) en la forma canónica a(x−h)²+k; cambiar a, h o k estira, refleja o traslada la curva.

Fecha de publicación: 09-07-2026 21:39

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