Ángulo inscrito

Ángulo inscrito

Un ángulo inscrito tiene el vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de esa misma circunferencia. No es el ángulo del centro. El ángulo del centro tiene el vértice en el centro, y sus lados son radios.

En 3° medio hay que distinguirlos para resolver problemas en la circunferencia. Si se confunde el vértice, la medida sale al doble o a la mitad de lo que corresponde.

Dónde está el vértice

Una cuerda une dos puntos de la circunferencia y no tiene que pasar por el centro. Un radio une el centro con un punto de la circunferencia. Esa diferencia decide el nombre del ángulo.

Si el vértice está sobre la circunferencia y los dos lados son cuerdas, el ángulo es inscrito. Si el vértice está en el centro y los lados son radios, es un ángulo del centro. Mirar solo que “hay un ángulo en el círculo” no alcanza: hay que decir dónde está el vértice y qué son los lados.

El mismo arco mide el doble en el centro

En una circunferencia de centro O, la medida del arco AB es igual a la medida del ángulo del centro AOB. El arco y ese ángulo del centro coinciden en grados.

Si un ángulo del centro y un ángulo inscrito subtienden el mismo arco, el ángulo del centro mide el doble que el ángulo inscrito. Subtender el mismo arco significa que los dos ángulos abren la misma porción de circunferencia, entre los mismos dos puntos.

El caso del texto de 3° medio es directo. El ángulo inscrito que subtiende un arco mide 30°. El ángulo del centro que subtiende ese mismo arco mide el doble: 2 × 30° = 60°. Si el dato conocido es el del centro, se hace el camino inverso: se divide por 2. Un ángulo del centro de 60° corresponde a un inscrito de 30° en el mismo arco.

En una semicircunferencia queda recto

Una semicircunferencia es la mitad de la circunferencia. Su arco mide 180°. El ángulo del centro de ese arco también mide 180°, porque la medida del arco y la del ángulo del centro son iguales.

Si el ángulo inscrito se apoya en el diámetro, mira justo esa semicircunferencia. Mide la mitad: 180° ÷ 2 = 90°. Por eso todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. El diámetro une los dos extremos del arco y el vértice queda sobre la circunferencia.

Dos consecuencias de la misma relación

Si dos ángulos inscritos subtienden arcos iguales, cada uno mide la mitad de un ángulo del centro de la misma medida. Entonces los dos inscritos miden lo mismo. Son congruentes.

En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios: suman 180°. Cada uno es la mitad de un arco, y esos dos arcos juntos completan la vuelta. La mitad de 360° es 180°.

Antes de calcular, conviene nombrar el arco. Sin el arco común, no se puede duplicar ni partir la medida. La relación está en el texto de Matemática de 3° medio, en la lección de ángulos del centro e inscrito.