Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción. Si una se duplica, la otra queda en la mitad.

La tabla

Cuatro personas pintan el mural del colegio en 6 horas, al mismo ritmo. Si entran el doble de personas, el mural queda en la mitad del tiempo: 3 horas. Si entran el triple, 12 personas, el tiempo queda en un tercio: 2 horas.

En el dibujo el título dice Más personas, menos horas. Abajo se lee Pintar el mural del colegio. Hay tres filas. La azul dice 4 personas y 6 horas. La naranja dice 8 personas y 3 horas. La verde dice 12 personas y 2 horas.

El producto

En la proporcionalidad inversa el producto de las dos magnitudes no cambia. 4 por 6 da 24. 8 por 3 da 24. 12 por 2 da 24. Ese 24 es el mismo en los tres casos.

Si conoces un par, el otro se despeja con esa igualdad. Cuatro personas y 6 horas cumplen 4 × 6 = 8 × horas. Entonces 24 = 8 × horas, y las horas son 3.

En el dibujo el título dice El producto no cambia. Hay tres tarjetas. La azul dice 4 × 6 = 24. La naranja dice 8 × 3 = 24. La verde dice 12 × 2 = 24.

La gráfica

Los pares (4, 6), (8, 3) y (12, 2) no quedan sobre una recta que pase por el origen. El origen es el punto (0, 0). Entre (4, 6) y (8, 3) la bajada es más pronunciada que entre (8, 3) y (12, 2).

En el dibujo el título dice La gráfica no es una recta. El eje horizontal es Personas y el vertical es Horas. Tres puntos naranjos llevan las marcas (4, 6), (8, 3) y (12, 2). Una línea morada los une y se va acostando: el primer tramo baja más que el segundo.

Un ejemplo

De 4 personas a 8

El curso tiene 4 personas y el mural les toma 6 horas. Llegan otras 4. Ahora son 8, el doble. El tiempo no se mantiene en 6 horas: baja a la mitad, 3 horas.

No es el caso de los cuadernos y el precio. Ahí, si compras el doble, pagas el doble. Eso es proporcionalidad directa: el cociente no cambia. En el mural, el producto no cambia.

En 7° básico

Hacer la tabla, graficar y explicar por qué no es una recta que pase por el origen está en el objetivo de proporciones directas e inversas de Matemática. La comparación con la directa está en proporcionalidad directa.