¿Qué es una homotecia?

Qué es una homotecia y cómo funciona en geometría

1) Definición y elementos clave

Una homotecia es una transformación geométrica que traslada cada punto de una figura a otro punto situado sobre la misma recta que une ese punto con un punto fijo llamado centro, multiplicando las distancias al centro por un número fijo llamado razón. En geometría, una homotecia transforma figuras conservando la forma (son figuras semejantes) y cambiando el tamaño según la razón.

Elementos esenciales: centro y razón

Los dos elementos clave de una homotecia son el centro (un punto fijo O) y la razón (un número k). La imagen X' de un punto X viene dada por X' = O + k·(X - O). Si k>1 la figura se amplía; si 0 < k < 1 la figura se reduce; si k = 1 la homotecia es la identidad (no cambia nada); y si k < 0 se produce una homotecia con giro de 180° respecto al centro.

Ejemplos básicos y resueltos usando centro y razón

Ejemplo 1: Centro O=(0,0), razón k=2, punto X=(2,3).

Cálculo: vector X-O = (2,3) - (0,0) = (2,3), multiplicado por 2 da (4,6), por tanto X'=(4,6). Resultado: el punto se aleja del centro duplicando su distancia.

Ejemplo 2: Centro O=(1,1), razón k=0.5, punto X=(3,5). Cálculo: X-O= (3,5) - (1,1) = (2,4), multiplicado por la razón 0.5 resulta (1,2), X'=O+(1,2)=(2,3). Resultado: la figura se reduce a la mitad respecto del centro.

2) Propiedades y tipos

Tipos de homotecia según la razón k

Los tipos principales según la razón k son:

• k > 1: Ampliación (la figura se aleja del centro)

• 0 < k < 1: Reducción (la figura se acerca al centro)

• k = 1: Homotecia de identidad (la figura no cambia)

• k = 0: Convergencia al centro (todos los puntos colapsan en O)

• k < 0: Homotecia con simetría central (amplía/reduce + giro 180° respecto al centro O)


Ejemplos numéricos

Ejemplo 1 (ampliación): Centro O=(0,0), k=3, punto A=(1,2) → A'=(3,6). Las distancias se triplican.

Ejemplo 2 (reducción): Centro O=(2,0), k=0.4, punto B=(6,0) → B-O=(4,0), k·(B-O)=(1.6,0), B'=O+(1.6,0)=(3.6,0). La distancia se reduce al 40%.

Propiedades importantes de la homotecia

Propiedad 1: Conserva ángulos; la homotecia es una transformación semejante.

Propiedad 2: Mantiene la colinealidad: si A, B, C están en una recta, sus imágenes también.

Propiedad 3: Las longitudes se multiplican por el valor absoluto de la razón |k|; por ejemplo, si un segmento mide L, su imagen mide |k|·L.

Propiedad 4: Los segmentos que pasan por el centro quedan sobre la misma recta y mantienen la dirección si k>0, la invierten si k<0.

Ejemplos que muestran propiedades

Ejemplo 1 (longitud): Triángulo ABC con lados 3 cm, 4 cm y 5 cm; homotecia con k=2 produce lados 6 cm, 8 cm y 10 cm (proporcionalidad exacta).

Ejemplo 2 (colinealidad y signo de k): Puntos A=(1,1), B=(3,1) y centro O=(0,1). Con k= -1, A' = (-1,1) y B' = (-3,1). Los puntos siguen en la misma recta y aparecen al otro lado del centro.

3) Diferencias con otras transformaciones

Comparación con traslación, rotación y simetría

Traslación: mueve toda la figura sin cambiar tamaño ni orientación; las rectas no pasan por un centro común. Rotación: gira la figura alrededor de un punto manteniendo distancias al centro, no escala. Simetría (reflexión): invierte respecto de una recta manteniendo tamaño pero cambiando orientación lateral. Homotecia: cambia el tamaño según la razón k y conserva la forma y la orientación si k>0, o la invierte si k<0.

Ejemplos que muestran diferencias

Ejemplo 1 (traslación vs homotecia): un punto A=(1,1) trasladado por vector (2,0) produce A'=(3,1). Homotecia con centro O=(0,0) y k=1 produce A'=(1,1) (identidad). Resultado: la traslación no mantiene la relación de distancias al centro O como la homotecia sí lo hace multiplicándolas por k.

Ejemplo 2 (rotación vs homotecia): Punto P=(2,0) rotado 90° alrededor del origen es P'=(0,2) (misma distancia 2). Homotecia con k=2 y centro O=(0,0) da P'=(4,0) (distancia cambia). Así se ve que rotación conserva distancia, homotecia la escala.

4) Preguntas de comprensión lectora

Preguntas y respuestas para comprobar comprensión

1. ¿Qué elementos definen una homotecia? Respuesta: Un centro O y una razón k.

2. Si k=0.75, ¿la homotecia amplía o reduce la figura? Respuesta: Reduce la figura al 75% del tamaño original.

3. ¿Qué ocurre con la orientación de la figura si k es negativo? Respuesta: La figura invierte su orientación (queda al otro lado del centro).

4. ¿Se conservan los ángulos en una homotecia? Respuesta: Sí, la homotecia conserva todos los ángulos (figuras semejantes).

5. ¿Cómo se calcula la imagen X' de un punto X con centro O y razón k? Respuesta: X' = O + k·(X - O).

6. Si un segmento mide 5 cm y se aplica una homotecia con k=1.6, ¿cuánto mide su imagen? Respuesta: 8 cm (5·1.6=8).

7. Si k=0, ¿qué pasa con todos los puntos de la figura? Respuesta: Todos los puntos se transforman en el centro O (se colapsa la figura al centro).

8. ¿Cuál es la diferencia principal entre homotecia y simetría respecto de tamaño? Respuesta: La simetría mantiene el tamaño, la homotecia lo escala según k.

5) Actividad práctica final con pasos claros

Objetivo: Aplicar los conceptos de homotecia para transformar un triángulo, calcular coordenadas y dibujar la figura resultante.

Paso 1: Dibuja en un plano cartesiano el triángulo ABC con A=(2,1), B=(5,1), C=(3,4) y marca el centro O=(1,1).

Paso 2: Calcula las imágenes A', B', C' con razón k=1.5 usando la fórmula X'=O+k·(X-O). Muestra los pasos de cálculo numerando las operaciones.

Paso 3: Dibuja las rectas OA, OB y OC y marca las distancias O→A, O→B, O→C y sus escalas por k para ubicar A', B', C'.

Paso 4: Une A'B'C' y compara las longitudes y ángulos con el triángulo original; escribe una breve conclusión sobre semejanza y escala.

Paso 5 (opcional): Repite el ejercicio con k=-0.8 y explica las diferencias observadas en posición y orientación.

Solución modelo y resultados esperados

Solución: Paso 2 cálculos: A-O=(1,0), k·(A-O)=(1.5,0) → A'=O+(1.5,0)=(2.5,1). B'=(7,1). C'=(4,5.5). Resultado: triángulo A'B'C' más grande que el original en proporción 1.5. Con k=-0.8 se obtienen coordenadas con signo invertido y se ve la inversión de orientación.

Fecha de publicación: 12-01-2026 12:16

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