Función lineal y afín

Qué es una función lineal y afín: diferencias y ejemplos

1) Definición

Qué es una función lineal:

Una función lineal es una función de la forma f(x)=a·x donde a es un número real llamado coeficiente o pendiente. En la gráfica en el plano, una función lineal pasa por el origen (0,0) y su recta tiene pendiente "a", que indica cuánto sube o baja la recta por cada unidad que avanzamos en x.

Ejemplos reales de función lineal (resueltos)

Ejemplo 1: f(x)=2x. Si x=3 entonces f(3)=2·3=6. La recta pasa por (0,0) y por (3,6). La pendiente es 2.

Ejemplo 2: f(x)=-3x. Si x=2 entonces f(2)=-3·2=-6. La recta pasa por (0,0) y por (2,-6). La pendiente es -3.

Qué es una función afín:

Una función afín es una función de la forma f(x)=a·x+b, donde "a" es la pendiente o coeficiente y "b" es el término independiente, también llamado posición u ordenada al origen. En la gráfica en el plano, la recta no necesariamente pasa por el origen; corta el eje vertical en (0,b).

Ejemplos reales de función afín (resueltos)

Ejemplo 1: f(x)=2x+1. Si x=2 entonces f(2)=2·2+1=5. La recta corta el eje vertical en b=1 y tiene pendiente a=2.

Ejemplo 2: f(x)=-0.5x+3. Si x=4 entonces f(4)=-0.5·4+3=1. La recta corta el eje vertical en (0,3) y baja porque la pendiente es negativa.

2) Partes de la ecuación: pendiente, coeficiente y posición

Pendiente: qué es y cómo interpretarla

La pendiente mide la inclinación de la recta: si a>0 la recta sube al avanzar en x; si a<0 baja al avanzar en el eje x; si a=0 la recta es horizontal. En contexto real, la pendiente puede representar velocidad, precio por unidad o tasa de cambio.

Ejemplos calculando pendiente entre dos puntos

Ejemplo 1: Dados los puntos (1,2) y (4,8), la pendiente es la razón entre la resta de las coordenadas "y" entre la resta de las coordenadas "x", en este caso es: a=(8-2)/(4-1)=6/3=2. Así la recta que pasa por esos puntos tiene pendiente 2.

Ejemplo 2: Dados los puntos (0,3) y (2,1), la pendiente es a=(1-3)/(2-0)=-2/2=-1. La recta baja con pendiente -1.

Coeficiente y posición (b): significado y uso

La posición "b" es el valor de la función cuando x=0, es decir f(0)=b. Para funciones lineales b=0; para afines b puede ser distinto de cero y desplaza la recta hacia arriba o abajo en el eje "y".

Ejemplos resolviendo coeficiente y posición

Ejemplo 1: f(x)=4x+5 tiene pendiente a=4 y posición b=5. f(0)=5, la recta corta el eje vertical en (0,5).

Ejemplo 2: f(x)=-2x tiene pendiente a=-2 y posición b=0. f(0)=0, la recta pasa por el origen.

3) Diferencias: comparación clara entre lineal y afín

Diferencias principales

La diferencia esencial es el término independiente b: si b=0 la función es lineal; si b≠0 la función es afín. Ambas representan rectas en el plano y comparten concepto de pendiente, pero su posición vertical cambia según b.

4) La gráfica en el plano: cómo dibujar la recta

Pasos para dibujar una recta usando pendiente y posición

1) Identifica "b" y marca el punto (0,b) en el eje vertical.

2) Desde ese punto usa la pendiente "a": sube o baja según el numerador y avanza en x según el denominador.

3) Une puntos y dibuja la recta. Si b=0, comienza en el origen.

Este procedimiento muestra claramente la relación entre coeficiente, posición y la recta en el plano.

Ejemplos de gráficas con números reales

Ejemplo 1: Dibuja f(x)=2x+1. Marca (0,1). Con pendiente 2 (sube 2, mientras avanza 1 en el eje x) desde (0,1 llega a (1,3)). Otra marca: (2,5). Une puntos y obtiene la recta.

Ejemplo 2: Dibuja g(x)=-1/2 x +2. Marca (0,2). Con pendiente -1/2 (baja 1 al avanzar 2) desde (0,2 llega a (2,1)). Otra marca: (-2,3). Une puntos y obtiene la recta.

5) Ejemplos prácticos resueltos (contextos reales)

Ejemplo práctico 1: precio proporcional (función lineal)

Fotocopias que cuestan 50 pesos por copia sin cargo fijo. La función precio total P(x)=50x es lineal. Si haces 10 copias, P(10)=50·10=500 pesos. Si haces 0 copias, P(0)=0 (pasa por el origen).

Ejemplo práctico 2: tarifa con cargo fijo (función afín)

Taxi con bajada de bandera 350 pesos y 200 pesos por km. Costo C(k)=200·k+350 es afín. Para 5 km, C(5)=200·5+350=1000+350=1350 pesos. Para 0 km el costo es C(0)=350 pesos (el taxi cobra la bajada aunque no avances).

Ejemplo práctico 3: temperatura y conversión (afín)

Conversión de Celsius a Fahrenheit es una función afín F(C)=1.8·C+32. Para C=0, F(0)=32°F. Para C=100, F(100)=1.8·100+32=180+32=212°F.

Ejemplo práctico 4: velocidad constante (lineal)

Un automóvil que recorre 60 km por hora sin inicio fijo: distancia D(t)=60·t es lineal. En 2,5 horas D(2.5)=60·2.5=150 km. En 0 horas D(0)=0.

6) Preguntas de comprensión lectora

  1. ¿Cuál es la diferencia algebraica entre una función lineal y una afín? Explica con símbolos.
  2. Si f(x)=4x-3, ¿es lineal o afín? ¿Cuál es su pendiente y cuál es su posición? Calcula f(0) y f(2).
  3. Describe qué representa la pendiente en una situación real y da un ejemplo propio.
  4. Si una recta pasa por (0,0) y por (3,9), ¿es su función lineal o afín? Calcula la ecuación.
  5. Explica cómo dibujar la recta de g(x)=-2x+4 paso a paso y determina dos puntos exactos que uses para trazarla.
  6. En el ejemplo del taxi (C(k)=200k+350), ¿qué representa 200 y qué representa 350? ¿Qué tipo de función es?
  7. Si h(x)=0·x+5, ¿cómo la clasificas y por qué? ¿Cómo es su gráfica en el plano?
  8. Convierte 25°C a Fahrenheit usando la función afín de conversión y muestra el cálculo.


Fecha de publicación: 12-01-2026 14:17

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