Construcción de teselaciones con polígonos regulares

Qué son las teselaciones y cómo construirlas

1) ¿Qué son las teselaciones?

Las teselaciones son arreglos de figuras geométricas que cubren completamente un plano sin dejar espacios ni solapamientos. En este tema trabajaremos con polígonos regulares, que son figuras geométricas cuyos lados y ángulos son todos iguales. Las teselaciones usan movimientos como traslaciones; rotaciones; reflexiones para repetir las piezas y crear patrones repetitivos y estables.

Concepto básico explicado

Una teselación puede formarse repitiendo una sola pieza (teselación mono-tipo) o combinando varias figuras. Para que un polígono regular tesele por sí mismo, los ángulos interiores deben sumar 360° alrededor de cada vértice donde se encuentran. Esto se verifica con cálculos de ángulos y con experimentación visual a escala real.

Ejemplos y resueltos de teselaciones simples

Ejemplo real 1: Teselación con cuadrados. Cada cuadrado tiene ángulo interior 90°. Colocando cuatro cuadrados alrededor de un punto (90° × 4 = 360°) se rellena el plano sin huecos, por eso el cuadrado tesela.

Ejemplo real 2: Teselación con hexágonos regulares. Cada hexágono regular tiene ángulo interior 120°. Colocando tres hexágonos alrededor de un vértice (120° × 3 = 360°) se logra una teselación como la de un panal de abeja.

2) Fundamento matemático y reglas para teselar

Ángulo interior de un polígono regular y criterio para teselar

Fórmula del ángulo interior de un polígono regular de n lados: ángulo = (n - 2) × 180° / n. Para que un polígono regular tesele por sí solo, 360° debe ser divisible por ese ángulo interior o la combinación de varios ángulos interiores de distintos polígonos debe sumar 360° en cada vértice.

Ejemplo real 1: Para n = 3 (triángulo equilátero): ángulo = (3 - 2) × 180° / 3 = 60°. 360° / 60° = 6, por eso 6 triángulos rodean un punto y el triángulo tesela.

Ejemplo real 2: Para n = 5 (pentágono regular): ángulo = (5 - 2) × 180° / 5 = 108°. 360° / 108° ≈ 3,333, no es entero, por eso un pentágono regular no tesela por sí solo.

Cálculos numéricos adicionales

Ejemplo real 3: Para n = 4 (cuadrado): ángulo = (4 - 2) × 180° / 4 = 90°. 360° / 90° = 4, tesela.

Ejemplo real 4: Para n = 6 (hexágono): ángulo = (6 - 2) × 180° / 6 = 120°. 360° / 120° = 3, tesela.

Combinaciones de polígonos regulares para formar vértices

Además de teselar con un solo tipo de polígono, se pueden combinar polígonos regulares en cada vértice para sumar 360°. Por ejemplo, un cuadrado (90°) más dos triángulos (2 × 60° = 120°) más un hexágono (120°) hacen 90° + 120° + 120° = 330° no alcanza; pero dos cuadrados (2×90°) + un hexágono (120°) = 300° no alcanza; en cambio un triángulo (60°) + un cuadrado (90°) + un hexágono (120°) = 270° tampoco alcanza. Hay combinaciones que sí funcionan, por ejemplo tres octógonos no (135°×3=405°), pero dos triángulos + dos cuadrados + un hexágono: 2×60° + 2×90° + 120° = 420° no. La clave es probar combinaciones que sumen 360° exactos.

Ejemplo real 5: Combinación que funciona: un hexágono (120°) + un hexágono (120°) + un cuadrado (90°) + un triángulo (60°) suma 390°; no funciona. Otro ejemplo que sí funciona es 3 triángulos (3×60°=180°) + 2 cuadrados (2×90°=180°) = 360°, pero estos no se pueden reunir en el vértice con las aristas coincidentes si las longitudes no coinciden; por eso se privilegia el uso de polígonos regulares iguales o polígonos cuyos lados coincidan en longitud.

3) Tipos de simetrías en teselaciones y cómo usarlas

Traslaciones y cómo las aplicamos

Una traslación desplaza una figura sin rotarla ni reflejarla. Muchas teselaciones simples se construyen sólo con traslaciones: tomas una pieza y la mueves en vectores constantes para repetirla en todo el plano.

Ejemplo real 1: Teselación de cuadrados en una cuadrícula: si el lado del cuadrado mide 5 cm, traslada cada copia por vectores (5 cm, 0) y (0, 5 cm) y así cubres el plano sin huecos.

Ejemplo real 2: Teselación de rectángulos formados por dos cuadrados de 5 cm × 5 cm unidos: traslada por vectores (10 cm, 0) y (0, 5 cm) para cubrir el papel con el patrón.

Rotaciones y centros de rotación en teselaciones

Una rotación gira la pieza alrededor de un punto. En teselaciones regulares, existen centros de rotación de orden 2, 3, 4 o 6 según el patrón. Por ejemplo, la teselación de hexágonos tiene centros de rotación de orden 3 en los vértices donde se juntan tres hexágonos.

Ejemplo real 1: En un patrón de triángulos equiláteros, hay un centro de rotación de orden 3 en cada punto donde se unen seis triángulos; rotar 120° deja el patrón igual.

Ejemplo real 2: En una teselación de cuadrados, rotar 90° alrededor del centro de un cuadro deja la teselación igual: centro de rotación de orden 4.

Reflexiones (espejos) y su uso

Una reflexión crea una imagen espejo respecto a una recta. En teselaciones con simetría espejo, puedes reflejar una pieza para completar el patrón. Las reflexiones suelen acompañar a traslaciones o rotaciones para crear patrones más ricos.

Ejemplo real 1: Una teselación tipo “espejo” con rectángulos: si colocas un rectángulo y su reflejo junto a él, y repites con traslaciones, obtienes una banda simétrica repetida.

Ejemplo real 2: Teselaciones decorativas en baldosas: muchas baldosas decoradas usan reflexión sobre una línea vertical dentro de la baldosa, y al repetirse por traslaciones forman una pared con simetría de espejo.

4) Cómo construir una teselación paso a paso (práctica visual)

Materiales y preparación

Materiales: papel cuadriculado o cartulina, regla, lápiz, tijeras, compás (opcional), colores. Preparación: elige un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, hexágono) y fija el tamaño del lado en centímetros para poder medir traslaciones y colocaciones exactas.

Paso a paso con ejemplos reales y resueltos

Ejemplo práctico 1 (cuadrados, lado = 4 cm): 1) Dibuja un cuadrado de 4 cm de lado en cartulina. 2) Corta la pieza. 3) Coloca la pieza original en la esquina superior izquierda de un papel mayor. 4) Traslada la pieza horizontalmente 4 cm para colocar la siguiente. 5) Repite filas y columnas hasta cubrir el papel. Resultado: teselación por traslaciones; cada vértice tiene 4 cuadrados (90°×4=360°).

Ejemplo práctico 2 (hexágonos regulares, lado = 3 cm): 1) Dibuja un hexágono regular con lado 3 cm (puedes usar plantilla). 2) Corta varias copias. 3) Coloca un hexágono y rodea con tres hexágonos en sus lados para completar los vértices. 4) Continua agregando hexágonos en panal hasta cubrir la hoja. Resultado: teselación por traslaciones y rotaciones; cada vértice tiene 3 hexágonos (120°×3=360°).

Variación creativa usando rotaciones y reflexiones

Ejemplo real 3: Crea una baldosa de papel con un dibujo asimétrico dentro (por ejemplo una hoja). Corta la baldosa en forma cuadrada y repítela por traslación. Luego toma cada segunda fila y refleja horizontalmente las piezas: obtendrás un patrón con traslaciones y reflexiones.

Ejemplo real 4: Toma una forma base derivada de un triángulo equilátero y diseña una pieza que no sea simétrica. Repite la pieza y en algunos puntos aplica una rotación de 180° antes de ubicarla. Observa centros de rotación de orden 2 y cómo cambian las orientaciones sin romper el llenado del plano.

5) Ejercicios con números (resueltos y para practicar)

Ejercicios resueltos con cálculos

Ejercicio resuelto 1: ¿Cuál es el ángulo interior de un octágono regular (n = 8)? Cálculo: ángulo = (8 - 2) × 180° / 8 = 6 × 22.5° = 135°. 360° / 135° ≈ 2,666 no entero, por lo que un octágono regular no tesela por sí solo.

Ejercicio resuelto 2: ¿Cuántos triángulos equiláteros de lado 2 cm rodean un punto si cada triángulo tiene ángulo interior 60°? Cálculo: 360° / 60° = 6 triángulos.

Problemas para practicar

Problema 1: Calcula el ángulo interior de un eneágono regular (n = 9) y decide si puede teselar solo. (Responde con cálculo y conclusión.)

Problema 2: En una teselación conjunta, quieres que en un vértice se junten un hexágono (120°) y algunos triángulos (60°). ¿Cuántos triángulos necesitas junto al hexágono para sumar 360°? Muestra el cálculo y dibuja la disposición.

Problema 3: Si tienes cuadrados de 6 cm de lado, ¿qué vectores de traslación debes usar para repetir la pieza sin solapamientos? Explica con números (dx, dy en cm).

Respuestas esperadas: Problema 1: ángulo = (9-2)×180/9 = 140°, 360/140≈2.571 no tesela. Problema 2: 120° + x·60° = 360° → x = 4 triángulos. Problema 3: vectores (6 cm, 0) y (0, 6 cm).

6) Preguntas de comprensión lectora

Pregunta 1: ¿Qué diferencia hay entre teselaciones formadas por un solo polígono regular y las que combinan varios polígonos?

Pregunta 2: ¿Por qué un pentágono regular no tesela por sí mismo? Describe el cálculo que lo confirma.

Pregunta 3: Explica con tus palabras qué es una traslación y da un ejemplo con medidas reales.

Pregunta 4: ¿Qué significado tiene que la suma de ángulos alrededor de un vértice sea 360° en una teselación?

Pregunta 5: Describe una situación en la que uses rotaciones para construir una teselación y menciona el orden de rotación que aparece.

Pregunta 6: ¿Cómo ayuda el papel cuadriculado a construir teselaciones exactas? Da al menos dos razones.

Pregunta 7: Dibuja un vértice formado por un hexágono y triángulos hasta que sumen 360°. ¿Cuántos triángulos usaste?

Pregunta 8: ¿Qué pasos seguirías para transformar una pieza simple en una baldosa decorada que pueda teselar usando reflexiones?

7) Actividad final práctica con pasos claros (experimentación + práctica visual)

Actividad: Diseña y prueba tu propia teselación usando polígonos regulares

Objetivo: Crear una teselación en una hoja A3 usando polígonos regulares y documentar el proceso. Materiales: hoja A3 o cartulina grande, lápiz, regla, compás, tijeras, colores, cinta adhesiva si haces plantillas.

Pasos claros:

  1. 1° Elige el polígono regular que usarás (triángulo equilátero, cuadrado o hexágono) y decide el lado en centímetros (por ejemplo 3 cm o 5 cm).
  2. 2° Dibuja y recorta al menos 8 copias idénticas de la pieza para experimentar en pequeño antes de pegar en la hoja A3.
  3. 3° Ensaya disposiciones con traslaciones: mide y usa vectores (dx, dy) en cm para colocar piezas sin huecos.
  4. 4° Prueba aplicar rotaciones en algunos centros (por ejemplo 120° en triángulos, 90° en cuadrados) y observa si el patrón sigue cerrando sin huecos.
  5. 5° Si deseas, aplica reflexiones a algunas filas para crear simetrías espejo y compara el efecto visual.
  6. 6° Cuando tengas un diseño que funciona en pequeño, trasládalo a la hoja A3, dibuja las guías y pega o dibuja las piezas finales, colorea para destacar el patrón.

Resultados esperados y ejemplos de entrega

Ejemplo de resultado 1: Un estudiante elige hexágonos de lado 2.5 cm, arma un panal por traslaciones y rotaciones (centros de rotación de orden 3) y cubre la hoja. Documento que cada vértice tiene 3 hexágonos y que 120°×3=360°.

Ejemplo de resultado 2: Otro estudiante crea una teselación mixta: triángulos equiláteros de 3 cm y cuadrados de 3 cm colocados en una combinación que suma 360° en vértices (2 triángulos + 2 cuadrados = 2×60° + 2×90° = 300° no alcanza; entonces ajusta a 3 triángulos + 1 cuadrado = 3×60° + 90° = 270° y finalmente cambia a 4 triángulos + 2 cuadrados = 4×60° + 2×90° = 420°; tras experimentar encuentra una combinación válida con lados iguales o diseña una pieza compuesta que encaje por traslación y reflexión).

Evaluación rápida: el trabajo se considera exitoso si la hoja A3 queda cubierta sin huecos ni solapamientos, se documenta el cálculo de ángulos que justifica la teselación y se describen las transformaciones usadas (traslaciones; rotaciones; reflexiones).

Extensión sugerida: toma una foto de tu teselación y analiza qué tipos de simetría aparecen (traslación, rotación, reflexión) y escribe una breve explicación de 5 líneas sobre por qué el patrón se repite correctamente.

Fecha de publicación: 02-02-2026 14:38

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