Resolución de ecuaciones cuadráticas con fórmula general

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso

1) ¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una igualdad polinomica de segundo grado que puede escribirse en la forma ax2+bx+c=0, donde a, b y c son números reales y a≠0. Se le llama de segundo grado porque la mayor potencia de la incógnita es 2.

Las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática son los valores de x que hacen verdadera la igualdad y corresponden a las intersecciones de una parábola con el eje x en su representación gráfica.




2) Elementos clave de ax2+bx+c

En coeficiente "a" determina la apertura de la parábola (si a>0 abre hacia arriba y si a<0 abre hacia abajo), b influye en la posición horizontal y en la simetría, y c es el punto donde la parábola corta el eje y (ordenada al origen). Siempre verifica que a≠0 para que sea de segundo grado.

Ejemplos

Ejemplo 1: Para 2x2−3x+1=0, a=2, b=−3, c=1. Aquí a>0, por lo tanto la parábola abre hacia arriba.

Ejemplo 2: Para −x2+4x−5=0, a=−1, b=4, c=−5. Aquí a<0, la parábola abre hacia abajo.

3) La fórmula general y el discriminante

La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática es la siguiente:

El término dentro de la raíz, se llama discriminante denotado por Δ y determina la naturaleza de las soluciones: si Δ>0 hay dos raíces reales y distintas; si Δ=0 hay una raíz real doble; si Δ<0 hay dos raíces complejas conjugadas.

Ejemplos

Ejemplo 1: Para 3x2+2x−1=0, calcular Δ= b2−4ac = 22 − 4·3·(−1) = 4 + 12 = 16. Como Δ=16>0, tiene dos soluciones reales distintas.

Ejemplo 2: Para x2−2x+1=0, calcular Δ = (−2)2 − 4·1·1 = 4 − 4 = 0. Como Δ=0, tiene una raíz real doble (raíz única repetida).

4) Procedimiento paso a paso para resolver ecuaciones con la fórmula general

1) Escribe la ecuación en la forma ax2+bx+c=0 y verifica que a≠0.

2) Identifica a, b y c.

3) Reemplaza en la fórmula y resuelve ambas soluciones separando por el signo más y menos cada una como se muestra en la siguiente imagen:

Ejemplo

Ejemplo 1: Resolver 2x2−3x−2=0.

  1. Paso 1: a=2, b=−3, c=−2.
  2. Paso 2: Δ = (−3)2 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25.
  3. Paso 3: √Δ = 5.
  4. Paso 4: x = (−(−3) ± 5) / (2·2) = (3 ± 5)/4.
  5. Entonces x1 = (3+5)/4 = 8/4 = 2. x2 = (3−5)/4 = −2/4 = −1/2.
  6. Soluciones: x=2 y x=−1/2.

5) Casos especiales y cómo se relacionan con la parábola

Interpretación geométrica: cómo las raíces afectan la parábola y su vértice.

Las raíces son las abscisas donde la parábola corta el eje x.

  1. Si hay dos raíces reales distintas, la parábola corta el eje x en dos puntos
  2. Si hay una raíz doble, la parábola toca el eje x en un solo punto (vértice sobre el eje x)
  3. Si las raíces son complejas, la parábola no corta el eje x

El vértice se encuentra en x = −b/(2a) y su coordenada "y" se obtiene evaluando la función en dicho x.

Ejemplos que muestran la relación entre las soluciones y la forma de la parábola.

Ejemplo 1: Para 1x2−5x+6=0 las soluciones son x=2 y x=3. La parábola abre hacia arriba (a=1>0) y corta el eje x en x=2 y en x=3; donde el vértice está en x = −(−5)/(2·1)=2.5.

Ejemplo 2: Para −2x2+4x−2=0, a=−2, b=4, c=−2. Calcula Δ = 42− 4·(−2)·(−2) = 16 − 16 = 0, raíz doble x = −b/(2a) = −4/(−4) = 1. Aquí la parábola abre hacia abajo y toca el eje x en x=1 en su vértice.

6) Ejemplos prácticos (resueltos) para distintos casos del discriminante

Casos con Δ>0: dos raíces reales y distintas.

Ejemplo 1: Resolver 3x2−x−2=0.

a=3,b=−1,c=−2.

Δ = (−1)2 − 4·3·(−2) = 1 + 24 = 25. √Δ=5.

x = (1 ± 5)/(6).

x1=(1+5)/6=6/6=1.

x2=(1−5)/6=−4/6=−2/3.

Ejemplo 2: Resolver 4x2−4x−8=0.

a=4,b=−4,c=−8.

Δ = (−4)2 − 4·4·(−8) = 16 + 128 = 144. √Δ=12.

x = (4 ± 12)/(8).

x1=(4+12)/8=16/8=2.

x2=(4−12)/8=−8/8=−1.

Casos con Δ=0: raíz real doble.

Ejemplo 1: Resolver x2−4x+4=0.

a=1,b=−4,c=4.

Δ = 16 − 16 = 0.

x = (4 ± 0)/2 = 2.

Solución doble x=2.

Ejemplo 2: Resolver 9x2+12x+4=0.

a=9,b=12,c=4.

Δ = 122 − 4·9·4 = 144 − 144 = 0.

x = (−12)/(18) = −2/3.

Solución doble x=−2/3.

Casos con Δ<0: raíces complejas.

Ejemplo 1: Resolver x2+2x+5=0.

a=1,b=2,c=5.

Δ = 4 − 20 = −16. √Δ = √(−16) = 4i.

x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i.

Soluciones complejas conjugadas x=−1+2i y x=−1−2i.

Ejemplo 2: Resolver 2x2+x+1=0.

a=2,b=1,c=1.

Δ = 1 − 8 = −7.

√Δ = √(−7) = i√7.

x = (−1 ± i√7)/(4).

Soluciones: x = (−1/4) ± (i√7)/4.

7) Preguntas de comprensión lectora

Preguntas para verificar que entiendes los conceptos y procedimientos.

  1. ¿Qué condiciones debe cumplir a para que una ecuación sea cuadrática?
  2. Escribe la fórmula general para resolver ax2+bx+c=0 usando texto plano.
  3. ¿Qué significa el discriminante y cómo afecta el número de soluciones?
  4. Si a>0, ¿hacia dónde abre la parábola? Explica por qué.
  5. Calcula Δ para la ecuación 5x2−6x+1=0 y explica qué indica el resultado.
  6. ¿Cómo se calcula la abscisa del vértice de la parábola asociada a ax2+bx+c?
  7. Da un ejemplo de una ecuación cuadrática con solución doble y explica el proceso para comprobarlo.
  8. Si obtienes raíces complejas, ¿qué interpretación geométrica tiene esto para la parábola?

8) Actividad final con pasos claros para practicar

Objetivo: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general, clasificar las soluciones y relacionarlas con la parábola.

Instrucciones:

1) Reescribe cada ecuación en la forma ax2+bx+c=0.

2) Identifica a, b, c.

3) Calcula Δ=b2−4ac y clasifica el caso (Δ>0, Δ=0, Δ<0).

4) Aplica la fórmula general y da las soluciones simplificadas.

5) Indica si la parábola abre hacia arriba o abajo y cuántas intersecciones con el eje x tiene.

Lista de ejercicios propuestos y respuesta esperada (clave para autocorrección).

  1. Resolver 2x2+5x−3=0. Respuesta esperada: a=2,b=5,c=−3. Δ=25+24=49. √Δ=7. x=(−5±7)/4 → x1=(2/4)=1/2, x2=(−12/4)=−3.
  2. Resolver x2−8x+15=0. Respuesta esperada: a=1,b=−8,c=15. Δ=64−60=4. √Δ=2. x=(8±2)/2 → x1=5, x2=3.
  3. Resolver 3x2+4x+2=0. Respuesta esperada: a=3,b=4,c=2. Δ=16−24=−8. √Δ=2i√2. x=(−4±2i√2)/6 → x= (−2±i√2)/3.
  4. Resolver −x2+6x−9=0. Respuesta esperada: a=−1,b=6,c=−9. Δ=36−36=0. x=−6/(−2)=3 (raíz doble).
  5. Resolver 5x2−20x+15=0. Respuesta esperada: a=5,b=−20,c=15. Δ=400−300=100. √Δ=10. x=(20±10)/10 → x1=3, x2=1.
  6. Resolver 0.5x2−x−1=0. Respuesta esperada: a=0.5,b=−1,c=−1. Δ=1 − 4·0.5·(−1)=1+2=3. √Δ=√3. x=(1±√3)/(1) → x1=1+√3, x2=1−√3 (si se prefiere, dejar en forma decimal aproximada: x1≈2.732, x2≈−0.732).

Revisa que en cada ejercicio hayas: 1) puesto la ecuación en forma ax2+bx+c=0; 2) identificado correctamente a, b, c; 3) calculado con exactitud Δ y su signo; 4) aplicado la fórmula general sin errores algebraicos; 5) simplificado las fracciones o expresado las raíces complejas correctamente. Usa calculadora para verificar raíces decimales y repasa el concepto de parábola para correlacionar las soluciones con la gráfica.

Fecha de publicación: 04-02-2026 16:46

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