Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas?

1) Concepto: ¿qué es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas?

Un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones que comparten las incógnitas, normalmente x e y. Cada ecuación representa una recta en el plano cartesiano. La solución del sistema es el punto (x,y) que hace verdad ambas ecuaciones; geométricamente es la intersección de las dos rectas.

En la imagen podemos ver un sistema de ecuaciones:

Ejemplos

Ejemplo 1: la ecuación x + y = 5 y la ecuación x = 2. Sustituyendo x = 2 en la primera, 2 + y = 5 → y = 3. Por lo tanto, la solución al sistema es x = 2 e y = 3 que es un punto coordenado en el plano y a su vez es el punto donde ambas rectas se interceptan.

Ejemplo 2: la ecuación 2x + y = 7 y la ecuación 2x + y = 7. Ambas ecuaciones son iguales, cualquier par (x,y) que cumpla 2x + y = 7 es solución; hay infinitas soluciones (rectas coincidentes).

2) Métodos para resolver sistemas: visión general

Los métodos más comunes son: método de sustitución, igualación, reducción (eliminación), método gráfico y regla de Cramer. Elegir un método depende de las ecuaciones: sustitución si una ecuación ya está despejada, igualación si ambas están despejadas a la misma incógnita, reducción si es fácil eliminar una variable sumando ecuaciones, gráfico para interpretar rectas en el plano cartesiano y Cramer cuando se quiere usar determinantes.

3) Método de sustitución

En el método de sustitución se siguen los siguientes pasos:

  1. Despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye esa expresión en la otra ecuación.
  2. Así se obtiene una ecuación con una sola incógnita que se resuelve
  3. Luego se sustituye el valor hallado para encontrar la otra incógnita.

Ejemplos

Ejemplo 1: Resolver el sistema "x + 2y = 8" e "x = 3y - 1".

Como la segunda ya tiene x despejado, sustituimos en la primera ecuación este valor, es decir, en vez de escribir "x" pondremos su valor "3y-1" y resolvemos, esto nos queda como sigue: (3y - 1) + 2y = 8 → 5y - 1 = 8 → 5y = 9 → y = 9/5. Luego x = 3(9/5) - 1 = 27/5 - 1 = 22/5. Solución: (22/5, 9/5).

Ejemplo 2: Resolver el sistema "2x - y = 4" e "3x + y = 11".

Despejar y en la primera ecuación: y = 2x - 4. Sustituir en la segunda: 3x + (2x - 4) = 11 → 5x - 4 = 11 → 5x = 15 → x = 3. Luego y = 2(3) - 4 = 2. Solución: (3,2).

Ejercicios prácticos

Ejercicio 1: Resolver por sustitución el siguiente sistema: "x - y = 1" y "2x + 3y = 12".

Solución: Despejar x = y + 1, sustituir: 2(y+1) + 3y = 12 → 2y + 2 + 3y = 12 → 5y + 2 = 12 → 5y = 10 → y = 2 → x = 3. Resultado: (3,2).

Ejercicio 2: Resolver por sustitución el siguiente sistema: "x = 4 - y" y "5x + 2y = 18".

Solución: Sustituir x: 5(4 - y) + 2y = 18 → 20 - 5y + 2y = 18 → -3y = -2 → y = 2/3 → x = 4 - 2/3 = 10/3. Resultado: (10/3, 2/3).

4) Método de igualación

En igualación se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (por ejemplo x en las dos), y se igualan las dos expresiones obtenidas. Así se obtiene una ecuación con una sola incógnita que se resuelve; luego se vuelve a una de las dos ecuaciones iniciales para hallar la otra incógnita.

Ejemplo

Ejemplo 1: Resolver "x + y = 6" y "2x - y = 3".

Despejar x en la primera ecuación: x = 6 - y.

Despejar x en la segunda ecuación: x = (3 + y)/2.

Igualar los resultados anteriores: 6 - y = (3 + y)/2

Resolver la ecuación anterior → multiplicar por 2 a ambos lados: 12 - 2y = 3 + y → 12 - 3 = 3y → 9 = 3y → y = 3.

Luego x = 6 - y se convierte en x = 6 - 3 = 3.

Solución: (3,3).

Ejercicios prácticos

Ejercicio 1: Resolver por igualación: "4x - y = 5" y "2x + 3y = 1".

Solución: Despejar x de la primera: x = (5 + y)/4.

Despejar x de la segunda: x = (1 - 3y)/2

Igualar los resultados anteriores: (5 + y)/4 = (1 - 3y)/2

Resolver la ecuación anterior → multiplicar por 4 a ambos lados: 5 + y = 2 - 6y → 7y = -3 → y = -3/7.

Luego x = (5 + y)/4 → x = (5 + -3/7)/4 → x = 8/7.

Resultado: (8/7, -3/7).

Ejercicio 2: Resolver por igualación: "x + 4y = 10" y "3x - 2y = 1".

5) Método de reducción (eliminación)

En reducción multiplicas ecuaciones por constantes (números) para que al sumarlas o restarlas desaparezca una incógnita. Resultado: una ecuación con una sola incógnita que se resuelve; luego se reemplaza para obtener la otra incógnita. Este método es eficiente para eliminar coeficientes iguales u opuestos.

Ejemplos

Ejemplo 1: Resolver "2x + 3y = 8" y "4x - 3y = 2".

Sumar ambas ecuaciones: (2x+4x) + (3y-3y) = 8 + 2 → 6x = 10 → x = 10/6 = 5/3. Aquí notamos que al sumarlas se eliminó la variable y.

Sustituir en 2x + 3y = 8 el valor de x encontrado→ 2(5/3) + 3y = 8 → 10/3 + 3y = 8 → 3y = 8 - 10/3 = 24/3 - 10/3 = 14/3 → y = 14/9.

Solución: (5/3, 14/9).

Ejemplo 2: Resolver "x + 2y = 4" y "3x + 5y = 13".

Multiplicar la primera por -3 para eliminar x al sumar las ecuaciones: -3x - 6y = -12; sumar con 3x + 5y = 13 → -y = 1 → y = -1.

Luego x + 2(-1) = 4 → x - 2 = 4 → x = 6.

Solución: (6,-1).

Ejercicios

Ejercicio 1: Resolver por reducción: "5x + 2y = 16" y "3x - 2y = 4".

Sumar: 8x = 20 → x = 2. Sustituir: 5(2) + 2y = 16 → 10 + 2y = 16 → 2y = 6 → y = 3. Resultado: (2,3).

Ejercicio 2: Resolver por reducción: "2x + 5y = 1" y "4x + 3y = 11".

Multiplicar la primera por -2: -4x -10y = -2; sumar con la segunda: -7y = 9 → y = -9/7.

Sustituir en 2x + 5(-9/7) = 1 → 2x - 45/7 = 1 → 2x = 1 + 45/7 = 7/7 + 45/7 = 52/7 → x = 26/7. Resultado: (26/7, -9/7).

6) Método gráfico

Explicación y relación con rectas en el plano cartesiano

En el método gráfico cada ecuación se convierte en una recta y se representa en el plano cartesiano. La solución es el punto donde las dos rectas se cruzan (intersección). Si las rectas son paralelas no hay solución (sistema incompatible); si coinciden hay infinitas soluciones (sistema indeterminado).

Ejemplos

Ejemplo 1: Sistema "2x + 2 = y" y "2x + 1 = y". Vemos que cada recta representa una ecuación y ellas no se cruzan en ningún punto por lo que este sistema no tiene solución.

En cambio, el siguiente sistema tiene única solución en el punto (1,2) como se aprecia en la imagen:

7) Preguntas de comprensión lectora

Preguntas con respuestas breves para evaluar lo aprendido

  1. ¿Qué representa gráficamente cada ecuación lineal en un sistema de dos incógnitas? Respuesta: Una recta en el plano cartesiano.
  2. Si dos rectas se cruzan en un punto, ¿cuántas soluciones tiene el sistema? Respuesta: Una solución (la intersección).
  3. ¿Qué indica que el determinante D en la regla de Cramer sea cero? Respuesta: Que no se puede aplicar Cramer directamente para obtener una solución única; el sistema puede ser incompatible o tener infinitas soluciones.
  4. ¿En qué caso conviene usar sustitución? Respuesta: Cuando una ecuación ya está despejada o es fácil despejar una incógnita.
  5. Si al sumar dos ecuaciones se elimina una variable, ¿qué método se está usando? Respuesta: El método de reducción o eliminación.

8) Actividad final: guía práctica paso a paso para resolver un sistema

Objetivo: Resolver el siguiente sistema por dos métodos diferentes (reducción y gráfico) y comparar resultados: "2x + y = 5" y "x - 2y = 4".

  1. Paso 1: Resolver por reducción. Multiplica y suma para eliminar una variable y encuentra x y y. Resultado esperado: calcular x e y.
  2. Paso 2: Resolver gráficamente. Despeja y en ambas ecuaciones, dibuja las rectas en un plano cartesiano (en papel cuadriculado o Geogebra), ubica la intersección y verifica que coincide con la solución del paso 1.
  3. Paso 3: Comprobar en ambas ecuaciones sustituyendo los valores obtenidos para confirmar que ambas se cumplen.
  4. Paso 4: Escribir una corta conclusión que explique por qué ambos métodos dieron la misma solución y qué significan los coeficientes en las rectas.

Resolución paso 1 (reducción): 2x + y = 5 y x - 2y = 4. Multiplicar la segunda por 2: 2x - 4y = 8. Restar la primera: (2x - 4y) - (2x + y) = 8 - 5 → -5y = 3 → y = -3/5. Sustituir en 2x + (-3/5) = 5 → 2x = 5 + 3/5 = 25/5 + 3/5 = 28/5 → x = 14/5. Solución: (14/5, -3/5).

Resolución paso 2 (gráfico y comprobación): Despejar y → y = 5 - 2x y y = (x - 4)/2. Igualar: 5 - 2x = (x - 4)/2 → multiplicar por 2 → 10 - 4x = x - 4 → 10 + 4 = 5x → 14 = 5x → x = 14/5, y = 5 - 2(14/5) = 5 - 28/5 = (25/5 - 28/5) = -3/5. Comprobación: 2(14/5) + (-3/5) = 28/5 - 3/5 = 25/5 = 5 y (14/5) - 2(-3/5) = 14/5 + 6/5 = 20/5 = 4.

Conclusión modelo: Ambos métodos dan la misma solución porque representan la misma condición algebraica; gráficamente la intersección de las rectas corresponde al punto solución. Los coeficientes determinan la pendiente y la posición de cada recta en el plano cartesiano.

Fecha de publicación: 04-02-2026 09:43

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