Álgebra y Funciones

Sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica es una sucesión numérica donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una misma cantidad llamada razón (r); su término general se expresa como a_n = a_1·r^{n-1}.

¿Qué es una sucesión geométrica?

Definición y elementos

Una sucesión geométrica tiene un primer término a₁ y una razón r tal que para todo n≥1 se cumple a_{n+1}=a_n·r. El término general permite calcular cualquier término sin listar los anteriores: a_n = a₁·r^{n-1}. Si r>1 la sucesión crece; si 0

¿Cómo se calcula el término general y la razón?

Fórmulas y procedimiento

Para hallar la razón se divide un término por su anterior: r = a_{n+1}/a_n, siempre que a_n≠0. Conociendo a₁ y r se usa a_n = a₁·r^{n-1}. Si tienes dos términos a_k y a_m, r se obtiene como r = (a_m/a_k)^{1/(m-k)}. Evita dividir por cero y verifica el signo de r para anticipar alternancia de signos en la sucesión.

¿Cuál es la suma de los términos y cómo se usa en contextos chilenos?

Suma finita y aplicaciones locales

La suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica con r≠1 es S_n = a₁·(1-r^n)/(1-r). Esta fórmula aparece en cálculos financieros como interés compuesto o en física para series de amortiguamiento. En Chile, sirve para modelar recursos: por ejemplo, estimar el valor acumulado de aportes mensuales o simular la disminución de concentración de contaminantes cerca de un río en la zona central, usando valores reales del entorno local para prácticas de laboratorio y currículo de III Medio.

¿Por qué se usan las sucesiones geométricas en álgebra y funciones?

Relación con funciones exponenciales y modelación

Las sucesiones geométricas son la versión discreta de las funciones exponenciales, porque a_n = a₁·r^{n-1} corresponde a un crecimiento o decaimiento por potencias. Se utilizan para modelar poblaciones, interés compuesto, decaimiento radiactivo teórico y procesos económicos. En álgebra ayudan a entender potencias, logaritmos y la convergencia de series, temas que aparecen en programas de III Medio y en ejercicios de preparación PSU/PAES relacionados con matemática aplicada.

¿Cómo se identifican casos especiales y qué errores evitar?

Casos r=1, r=0, r negativo e infinito

Si r=1 la sucesión es constante (a_n=a₁). Si r=0 todos los términos a_n para n≥2 son cero. Si r es negativo los signos alternan y si |r|<1 se puede estudiar una serie geométrica infinita con suma S = a₁/(1-r) cuando |r|<1. Errores comunes: confundir razón con diferencia, dividir por cero, o aplicar la fórmula de suma infinita cuando |r|≥1.

¿Cómo se resuelven ejemplos prácticos con pasos claros?

Resolución paso a paso

Para resolver problemas identifica a₁, r y lo que piden (término n, suma finita o suma infinita). Sustituye en las fórmulas correctas y realiza comprobaciones con términos tempranos. Usa calculadora para potencias y considera el contexto (por ejemplo, unidades en problemas chilenos como pesos, habitantes o toneladas).

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Sea a₁=3 y r=2. Calcular a₅ y S₅. Primero a₅ = 3·2^{4} = 3·16 = 48. Luego S₅ = 3·(1-2^{5})/(1-2) = 3·(1-32)/(-1) = 3·31 = 93. Resultado: a₅=48 y S₅=93. Este ejemplo muestra multiplicación por la razón y uso de la fórmula de la suma finita.

Ejemplo 2: Una sustancia empieza con 1000 mg y se reduce un 20% cada año (r=0.8). Encontrar a₄ y la suma de los cuatro primeros años. a₄ = 1000·0.8^{3} = 1000·0.512 = 512 mg. S₄ = 1000·(1-0.8^{4})/(1-0.8) = 1000·(1-0.4096)/0.2 = 1000·2.952 = 2952 mg. Así se modela decaimiento en ecología o químicas ambientales.

¿Dónde puedo practicar más ejercicios y qué repetir?

Sugerencias de práctica para III Medio

Practica identificando a₁ y r en secuencias numéricas, calcula términos intermedios y suma finita e infinita. Repite ejercicios con r negativo y con fracciones para dominar potencias y conversión entre expresiones. Usa ejemplos locales: simulaciones de ahorro en pesos chilenos, crecimiento de poblaciones en comunas o decaimiento de contaminantes en cuencas.

Actividad: 1) Encuentra a₆ y S₆ para a₁=5 y r=1.5. 2) Determina r si a₃=45 y a₁=5. 3) Explica cuándo una serie geométrica infinita tiene suma y da un ejemplo numérico.

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Preguntas frecuentes

¿Qué es una sucesión geométrica?

Es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una misma razón r; su término general es a_n = a₁·r^{n-1}.

¿Cómo se calcula el término general y la razón?

La razón se calcula como r = a_{n+1}/a_n (si a_n≠0) y el término general con a_n = a₁·r^{n-1}.

¿Cuál es la suma de los términos y cómo se usa en contextos chilenos?

La suma finita es S_n = a₁·(1-r^n)/(1-r) para r≠1; se aplica en finanzas, ecología y problemas locales como ahorro o decaimiento de contaminantes.

Fecha de publicación: 14-08-2026 17:14

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