Homotecia y sus aplicaciones

Homotecia

La homotecia es una transformación geométrica que cambia el tamaño de una figura manteniendo su forma, usando un centro y un factor de escala k.

¿Qué es la homotecia?

Definición y elementos

La homotecia transforma cada punto P de una figura en otro punto P' alineado con un centro O tal que OP' = k·OP, donde k es el factor de escala. Si k>1 la figura se amplía; si 0

¿Cómo se construye una homotecia paso a paso?

Construcción clásica con regla y compás

Para construir una homotecia con centro O y factor k: 1) Marca el centro O y la figura original ABC. 2) Traza rectas OA, OB, OC. 3) En cada recta mide OP' = k·OP a partir de O. 4) Une los puntos A', B', C' para obtener la figura homotecética. Si trabajas en papel cuadriculado puedes multiplicar coordenadas por k. En práctica escolar en Chile, al representar una plaza o mapa de un barrio de tu comuna, esta técnica ayuda a dibujar versiones a escala para maquetas.

¿Cuál es la fórmula y cómo se aplica al plano coordenado?

Fórmula en coordenadas

En el plano, si O=(x0,y0) y P=(x,y), la imagen P' por homotecia de factor k se obtiene con P'=(x0+k(x−x0), y0+k(y−y0)). Cuando O es el origen (0,0) la fórmula se simplifica a P'=(k·x,k·y). Esto significa multiplicar coordenadas por k, útil para transformar figuras en mapas o planos. Por ejemplo, para k=2 el triángulo con vértices (1,1),(2,1),(1,2) se transforma en (2,2),(4,2),(2,4). En problemas protocolares en Chile, como agrandar un diseño para un mural escolar, se usa esta operación para mantener proporciones exactas.

¿Por qué es importante la homotecia y dónde se aplica?

Aplicaciones prácticas

La homotecia se usa en arquitectura, diseño gráfico, cartografía y modelado. En Chile, al escalar planos urbanos o diseñar fachadas, se aplica para mantener proporciones en maquetas y planos. También aparece en fotografía (zoom manteniendo la relación de aspecto) y en la resolución de problemas matemáticos de semejanza y magnitudes. En ciencias naturales, permite comparar modelos reducidos, por ejemplo, un canal de riego a escala para estudiar caudales. Enseñar homotecia en I Medio ayuda a interpretar escalas en mapas y a comprender razones y proporciones en contextos reales.

¿Cómo se resuelven ejercicios de homotecia paso a paso?

Estrategia para resolver problemas

Paso 1: Identifica el centro O y el factor k. Paso 2: Si trabajas en coordenadas, aplica la fórmula P'=(x0+k(x−x0), y0+k(y−y0)). Paso 3: Calcula longitudes o áreas transformadas: las longitudes se multiplican por |k| y las áreas por k². Paso 4: Revisa signos: k negativo invierte la orientación. Paso 5: Comprueba resultados comparando razones entre segmentos correspondientes. Un caso típico: en un problema de geometría, si un edificio modelado mide 3 m en maqueta con k=50, la altura real es 3·50=150 m; si se pide área, multiplica por 50²=2500.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Centro O en (0,0), punto A=(3,2), k=1/2. Aplicando P'=(k·x,k·y) se obtiene A'=(1.5,1). La distancia OA=√(3²+2²)=√13≈3.61 y OA'=1.805, que es la mitad de OA, comprobando que las longitudes se escalan por k.

Ejemplo 2: Triángulo ABC con A(1,0), B(0,1), C(2,1), centro O=(1,1), k=−2. Calcula vectores: A'=(1+−2(1−1),1+−2(0−1))=(1,3), B'=(1+−2(0−1),1+−2(1−1))=(3,1), C'=(1+−2(2−1),1+−2(1−1)=(-1,1)). La figura resultante está invertida y ampliada por factor 2.

Actividad final

1) Dibuja un cuadrado con vértices (1,1),(3,1),(3,3),(1,3) y calcula sus imágenes para k=0.5 con centro en el origen. 2) Calcula las longitudes originales y transformadas; comprueba que se multiplican por k. 3) Piensa un ejemplo aplicado en tu ciudad: ¿qué elemento urbano podrías representar con homotecia y qué k usarías para maqueta?

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Preguntas frecuentes

¿Qué es la homotecia?

La homotecia es una transformación que escala una figura respecto a un centro usando un factor k, conservando ángulos y proporciones.

¿Cómo se construye una homotecia paso a paso?

Se traza desde el centro líneas a cada vértice, luego se mide OP' = k·OP en cada dirección y se unen los puntos resultantes.

¿Cuál es la fórmula y cómo se aplica al plano coordenado?

Con centro O=(x0,y0) y punto P=(x,y), P'=(x0+k(x−x0), y0+k(y−y0)); si O es el origen, P'=(k·x,k·y).

Fecha de publicación: 24-07-2026 16:38

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